Светоделитель как вращение двухмодового спина

Светоделитель двух мод задаётся $B(\theta)=\exp[\theta(a^\dagger b-ab^\dagger)]$. (a) Докажите, что сохраняется $n_a+n_b=a^\dagger a+b^\dagger b$ и $B^\dagger B=I$. (b) Для когерентного входа вычислите $B|0\rangle_b|\alpha\rangle_a$. Докажите, что при любом $\theta$ выход — произведение когерентных состояний, и укажите коэффициенты прохождения и отражения. (c) Положим $s_z=a^\dagger a-b^\dagger b$, $s_+=a^\dagger b$, $s_-=ab^\dagger$, $s_\pm=(s_x\pm i s_y)/2$. Как выражаются $B(\theta)$ и полное число квантов в спиновом представлении? Покажите, что $s_x,s_y,s_z$ имеют те же коммутационные соотношения, что и матрицы Паули.