Число Шмидта для двухчастичных состояний

Чистое состояние двух систем имеет разложение Шмидта $|\psi\rangle=\sum_k\lambda_k|k_A\rangle|k_B\rangle$, где оба набора ортонормированы и $\sum_k\lambda_k^2=1$. Число Шмидта — число ненулевых коэффициентов. (a) Докажите, что состояние является произведением тогда и только тогда, когда это число равно единице. (b) Докажите его инвариантность при локальных унитарных преобразованиях. (c) Найдите числа Шмидта для $(|00\rangle+|11\rangle+|22\rangle)/\sqrt3$, $(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle)/2$, $(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle-|11\rangle)/2$, $(|00\rangle+|01\rangle+|11\rangle)/\sqrt3$. (d) Чему равны числа Шмидта состояния Юрке $(|n,n-1\rangle+|n-1,n\rangle)/\sqrt2$ и его выхода после светоделителя 50/50? Объясните, почему второе число лучше отражает запутанность в интерферометре. Каков результат для когерентного состояния и вакуума, поданных на тот же светоделитель?