Рэлеевское и томсоновское рассеяние в двух представлениях

При упругом рассеянии света атом остаётся в состоянии $|a\rangle$, а падающий фотон с волновым вектором $\mathbf k$ и поляризацией $\boldsymbol\epsilon$ переходит в фотон $\mathbf k^\prime,\boldsymbol\epsilon^\prime$ на рисунке. (a) Найдите в низшем ненулевом порядке матричный элемент $T_{fi}$ для рэлеевского и томсоновского рассеяния, то есть когда $\hbar\omega$ соответственно мала или велика по сравнению с энергиями возбуждения. Выполните расчёт для $H_I^\prime=-\mathbf d\cdot\mathbf E$ и для кулоновской калибровки $H_I=-(q/m)\mathbf p\cdot\mathbf A(0)+q^2\mathbf A^2(0)/(2m)$. Оба подхода должны дать одинаковый ответ. (b) Покажите, что полное томсоновское сечение $\sigma_0=(8\pi/3)r_0^2$, где $r_0$ — классический радиус электрона.