Световая сила на связанном электроне

В полуклассической модели водородоподобного атома электрон гармонически связан с ядром в $\mathbf x_0$, частота $\omega_0$, коэффициент затухания $\gamma$. Поле $\mathbf E=\hat{\mathbf E}E_0(\mathbf x)\cos[\theta(\mathbf x)+\omega t]$, момент $\mathbf p=\hat{\mathbf p}[u\cos(\theta+\omega t)-v\sin(\theta+\omega t)]$, сила $\mathbf F=(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf E})\nabla E$. (a) В дипольном приближении оцените поле в $\mathbf x_0$ и покажите $\langle\mathbf F\rangle=(\hat{\mathbf p}\cdot\hat{\mathbf E})[u\nabla E_0+vE_0\nabla\theta]/2$. Первый член соответствует вынужденной дипольной силе, второй — силе рассеяния. (b) Найдите среднюю силу из мгновенной потенциальной энергии диполя. Чем результаты различаются и почему? (c) Для $\mathbf r=\mathbf x-\mathbf x_0$ решите $m\ddot{\mathbf r}+\gamma\dot{\mathbf r}+m\omega_0^2\mathbf r=-e\hat{\mathbf E}E_0e^{i(\theta+\omega t)}$, найдите $\mathbf p=-e\mathbf r$ и, полагая $\omega\simeq\omega_0$, получите $\mathbf F=-e^2[\delta\nabla E_0^2+\Gamma E_0^2\nabla\theta]/[2m\omega_0(4\delta^2+\Gamma^2)]$, где $\delta=\omega-\omega_0$, $\Gamma=\gamma/m$. (d) В квантовом слабополевом выражении числитель равен $\hbar\delta\nabla\omega_R^2+\hbar\Gamma\omega_R^2\nabla\theta$ с тем же общим минусом и знаменателем $4\delta^2+\Gamma^2$. Введите силу осциллятора $f_{fi}$ и докажите $\mathbf F_{\rm quantum}=f_{fi}\mathbf F_{\rm classical}$.