Уравнение Линдблада для теряющего фотоны резонатора

Моду резонатора Фабри — Перо с одним частично отражающим зеркалом описывает $H_0=\hbar\omega a^\dagger a$. Пусть исходное состояние $|\psi\rangle$. За $dt$ фотон вытекает с вероятностью $dp=\Gamma dt\langle\psi|a^\dagger a|\psi\rangle$. Ненормированное состояние при скачке $\tilde\psi_1=\sqrt{\Gamma dt}\,a\psi$, без скачка $\tilde\psi_0=e^{-iHdt/\hbar}\psi$, где $H=H_0-i\hbar\Gamma a^\dagger a/2$. (a) Найдите нормированные условные состояния. Поясните, почему член потерь пропорционален $a^\dagger a$. Экспоненты разворачивайте до первого порядка по $dt$. (b) Перепишите $\rho(t+dt)=(1-dp)|\psi_0\rangle\langle\psi_0|+dp|\psi_1\rangle\langle\psi_1|$ через ненормированные компоненты так, чтобы остались лишь кеты и бра начального состояния. (c) Вычислите разность с $\rho(t)$ и выведите уравнение Линдблада $\dot\rho=-(i/\hbar)[H_0,\rho]-(C^\dagger C\rho-2C\rho C^\dagger+\rho C^\dagger C)/2$. Укажите $C,C^\dagger$.