Антипериодическая частица на кольце и обращение времени

Частица массы $m$ движется по кольцу фиксированного радиуса $R$. Координатой служит угол $\phi\in[0,2\pi)$. Пусть волновая функция меняет знак при каждом обходе, то есть гильбертово пространство состоит из функций с условием антипериодичности $\psi(\phi+2\pi)=-\psi(\phi)$. (a) Угловой момент задаётся оператором $L=-i\hbar d/d\phi$. Найдите его собственные значения и соответствующие функции. (b) Гамильтониан частицы $H=L^2/(2mR^2)$. Найдите собственные энергии, функции и кратности вырождения. (c) Обращение времени $T$ необычным образом меняет направление радиус-вектора частицы: $T:\phi\to\phi+\pi$. Как всегда, $T$ антиунитарен. Как преобразуется $L$? Покажите инвариантность $H$. (d) Найдите действие $T$ на собственные функции энергии. Покажите, что $T^2=-1$ на каждой такой функции, а значит и на любом состоянии пространства. (e) Добавим к гамильтониану вещественный потенциал $V(\phi)=V(\phi+2\pi)$. Какому дополнительному условию он должен удовлетворять, чтобы сохранилась симметрия обращения времени? (f) При таком $V$ найденные выше энергии меняются. Как это повлияет на их вырождение? (Подсказка: используйте теорему Крамерса.)