Квантование импульса и оператор сдвига на кольце

Частица движется по окружности радиуса $R$. Если её координата $x$, то $x$ и $x+2\pi R$ обозначают одну точку. Волновые функции периодичны: $\psi(x+2\pi R)=\psi(x)$. Состояниям плоской волны $|p\rangle$ с определённым импульсом соответствует $\langle x|p\rangle=Ae^{ipx/\hbar}$. (a) Покажите, что периодичность допускает только дискретные $p_n$. Найдите их и нормированные волновые функции. (b) Для свободной частицы $H=p^2/(2m)$. Найдите энергии и вырождения. (c) Оператор $O$ определён действием $O|x\rangle=Re^{-ix/R}|x\rangle$. Каковы $O|p_n\rangle$ и $O^\dagger|p_n\rangle$? (d) Найдите коммутатор $[O,p]$.