Разложение двухмерной матрицы по матрицам Паули

(a) Покажите, что матрицы $N\times N$ образуют векторное пространство размерности $N^2$. (b) Покажите, что $\operatorname{Tr}(A^\dagger B)$ задаёт скалярное произведение на этом пространстве. (c) Покажите, что любую матрицу $A$ размера $2\times2$ можно записать в виде $A=a_0+i\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf a$, то есть четыре матрицы $\mathbf1,\boldsymbol\sigma$ размера $2\times2$ дают базис при $N=2$. Здесь $\boldsymbol\sigma$ — три матрицы Паули. Как с их помощью образовать ортонормированный базис? (d) Выразите $a_0,a_i$ ($i=1,2,3$) через $\operatorname{Tr}(A),\operatorname{Tr}(\sigma_iA)$. Затем выразите их через элементы $A$.