Сдвиг импульса фазовым множителем

(a) Покажите, что для частицы в состоянии с вещественной волновой функцией средний импульс $\langle p\rangle=0$. (b) Пусть в произвольном состоянии с волновой функцией $\psi(x)$ средний импульс равен $p_0$. Покажите, что у изменённой функции $e^{iPx/\hbar}\psi(x)$ средний импульс равен $p_0+P$. (c) Посмотрите на результат иначе, рассмотрев оператор $\widetilde T(P)=e^{ixP/\hbar}$, где $x$ — оператор координаты, $P$ вещественно. Найдите $\widetilde T(P)p\widetilde T^\dagger(P)$ и $\widetilde T(P)|p^\prime\rangle$. Объясните, как из этого следует результат (b). (d) Рассмотрите $\widetilde T(P)$ вместе с введённым на занятии оператором сдвига $T(a)=e^{-ipa/\hbar}$. Равно ли произведение $\widetilde T(P)T(a)$ оператору $e^{i(Px-pa)/\hbar}$?