Ларморовская прецессия спина в постоянном поле

Рассмотрите частицу со спином $1/2$ в постоянном магнитном поле вдоль оси $z$ с гамильтонианом $H=-\gamma BS_z$, где $\gamma$ — константа. В момент $t=0$ спин находится в собственном состоянии $\mathbf S\cdot\hat n_0$, где $\hat n_0$ лежит в плоскости $xz$ и образует угол $\theta$ с осью $z$. Исследуйте эволюцию этого состояния. (a) В представлении Шрёдингера найдите состояние в момент $t$ в базисе $S_z$. Затем найдите вероятность получить $+\hbar/2$ при измерении $S_x$ в момент $t$. (b) Напомним, что состояние системы со спином $1/2$ можно представить точкой $\hat n$ на сфере Блоха. Эволюция здесь задаёт траекторию $\hat n(t)$ с начальной точкой $\hat n(0)=\hat n_0$. Явно покажите по предыдущему результату, что $\hat n(t)$ прецессирует вокруг оси $z$ с ларморовской частотой $\gamma B$. (c) В представлении Гейзенберга выведите уравнение движения для $\langle\mathbf S\rangle$. Получите то же уравнение в представлении Шрёдингера с помощью предыдущего расчёта.