Точность стационарной фазы для квадратичного действия

Есть важный класс задач, в которых приближение стационарной фазы даёт точный интеграл по траекториям. Так происходит, если лагранжиан — квадратичный многочлен от координаты $x$ и скорости $\dot x$. Для доказательства рассмотрите пропагатор $K(x,t;x^\prime,t^\prime)=\int[Dx(t)]\exp(iS[x(t)]/\hbar)$. Произвольную траекторию из $(x^\prime,t^\prime)$ в $(x,t)$ представим суммой классической траектории наименьшего действия с теми же концами и смещения: $x(t)=x_{\rm cl}(t)+\delta x(t)$. Подставив это выражение в действие и заметив, что члены первого порядка по $\delta x$ исчезают (почему?), приведите пропагатор к виду $K(x,t;x^\prime,t^\prime)=\exp(iS[x_{\rm cl}(t)]/\hbar)\int[D\delta x(t)]\exp(iS[\delta x(t)]/\hbar)$. От конечных координат $x,x^\prime$ зависит только множитель $\exp(iS[x_{\rm cl}(t)]/\hbar)$, поскольку интеграл берётся по траекториям с $\delta x(t^\prime)=\delta x(t)=0$. В итоге пропагатор имеет вид $A(t,t^\prime)\exp(iS[x_{\rm cl}(t)]/\hbar)$. (a) Найдите этим способом пропагатор свободной частицы. (b) Покажите, что для частицы в параболическом потенциале с лагранжианом $L=\tfrac12m\dot x^2-\tfrac12m\omega^2x^2$ получается $$K=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin(\omega(t-t^\prime))}}\exp\!\left[\frac{im\omega((x^2+x^{\prime2})\cos(\omega(t-t^\prime))-2xx^\prime)}{2\hbar\sin(\omega(t-t^\prime))}\right].$$ Периодичность по времени соответствует классическому движению. Однако за период имеются две особенности при $\sin(\omega(t-t^\prime))=0$. Объясните их происхождение.