Спектр и основное состояние из мнимовременного пропагатора

(a) Используйте пропагатор, чтобы определить собственные энергии гармонического осциллятора. Покажите явно, что получается обычный результат $E=(n+1/2)\hbar\omega$ при $n=0,1,\ldots$. (b) Выведите из пропагатора волновую функцию основного состояния $\psi_0(x)$. Удобно рассмотреть мнимое время $t=-i\beta$ с вещественной $\beta$. Возьмите $K(x,t=-i\beta;x^\prime=x,t^\prime=0)$. Сначала покажите, что при $\beta\to\infty$ в сумме по собственным состояниям доминирует основное. Примените это к пропагатору осциллятора, найдите $|\psi_0(x)|^2$ и покажите, что результат совпадает с известным.