Калибровочная фаза пропагатора на кольце

Эффект Ааронова — Бома I. Для заряженной частицы в электромагнитном поле лагранжиан равен $L=\tfrac12m\dot{\mathbf x}^2-q\phi(\mathbf x)+(q/c)\mathbf v\cdot\mathbf A$. (a) Калибровочно инвариантно ли классическое действие $S=\int dt\,L(\mathbf x,\dot{\mathbf x})$? Как оно меняется при калибровочном преобразовании? (b) Как при этом меняется пропагатор $K(\mathbf x,t;\mathbf x^\prime,t^\prime)=\int Dx\,e^{iS/\hbar}$? (c) Суть эффекта Ааронова — Бома можно показать на частице, движущейся по кольцу длины $l$, сквозь которое проходит ненулевой поток $\Phi$. Векторный потенциал можно выбрать касательным к кольцу со значением $A=\Phi/l$. Пропагатор равен сумме по траекториям с разными числами обходов $m$. При $0<x<x^\prime<l$ имеем $K(x,t;x^\prime,t^\prime)_{\rm ring}=\sum_{m=-\infty}^\infty K(x,t;x^\prime,t^\prime)_{m,{\rm ring}}$, $K(x,t;x^\prime,t^\prime)_{m,{\rm ring}}=K(x+ml,t;x^\prime,t^\prime)_{\rm line}$. В последнем равенстве вклад путей с $m$ обходами представлен путём на прямой $-\infty<x,x^\prime<\infty$, полученной при разворачивании кольца. Найдите пропагатор при $x=x^\prime$. Используйте свободный пропагатор вместе с рассмотренным выше калибровочным преобразованием. (d) Исследуйте зависимость пропагатора от приложенного потока $\Phi$. Периодичен ли он? Каков период?