Фаза Ааронова — Кашера при обходе заряжённой нити

В 1984 году, через 25 лет после предсказания эффекта Ааронова — Бома (АБ), Ааронов и Кашер [Phys. Rev. Lett. 53, 319 (1984)] предсказали «двойственный» эффект. В обоих случаях частица не проникает в трубчатую область пространства, а вне её на частицу не действует сила. При этом частица приобретает измеримую квантовую фазу, которая зависит от содержимого недоступной трубки. В эффекте АБ частица заряжена, а в трубке заключён магнитный поток. В эффекте Ааронова — Кашера (АК) частица нейтральна, имеет магнитный момент, а внутри трубки расположена заряжённая нить. При выводе эффекта Ааронов и Кашер получили нерелятивистский лагранжиан нейтральной частицы с магнитным моментом $\boldsymbol\mu$, взаимодействующей с частицей заряда $e$. В гауссовых единицах $$L=\tfrac12m\mathbf v^2+\tfrac12M\mathbf V^2+(e/c)(\mathbf v-\mathbf V)\cdot\mathbf A(\mathbf r-\mathbf R),\qquad\mathbf A(\mathbf r-\mathbf R)=\frac{\boldsymbol\mu\times(\mathbf r-\mathbf R)}{|\mathbf r-\mathbf R|^3},$$ где $M,\mathbf R,\mathbf V$ и $m,\mathbf r,\mathbf v$ — масса, координата и скорость соответственно нейтральной и заряженной частиц, а векторный потенциал $\mathbf A(\mathbf r-\mathbf R)$ создаётся магнитным моментом. В эффекте АБ электрон не пересекает область магнитного поля, в эффекте АК нейтральная частица пересекает электрическое поле. Однако ни на ту, ни на другую частицу сила не действует. (a) Покажите инвариантность $L$ при взаимной перестановке $\mathbf r,\mathbf v$ и $\mathbf R,\mathbf V$. Значит, $L$ одинаков, когда электрон взаимодействует с линией магнитных моментов (АБ) или магнитный момент с линией электронов (АК). (b) По данному лагранжиану найдите разность фаз волн магнитных диполей, например нейтронов, обходящих линию электрических зарядов разными путями. Покажите геометрический характер фазы АК: она зависит только от пути, а не от скорости.