Пара противоположных зарядов в магнитном поле

Две частицы, одна с зарядом $+q$, другая с $-q$, движутся в двух измерениях в однородном магнитном поле. Гамильтониан $$H=\frac{\boldsymbol\Pi_1^2}{2m}+\frac{\boldsymbol\Pi_2^2}{2m}+V(\mathbf x_1-\mathbf x_2).$$ Здесь $\boldsymbol\Pi_1=\mathbf p_1-q\mathbf A(\mathbf x_1)$ и $\boldsymbol\Pi_2=\mathbf p_2+q\mathbf A(\mathbf x_2)$ — кинематические импульсы. Векторный потенциал $\mathbf A$ соответствует полю $\mathbf B=B\hat z$, а $\mathbf x_{1,2}$ — координаты частиц. Притягивающее взаимодействие можно считать гармоническим: $V(\mathbf x_1-\mathbf x_2)=(k/2)|\mathbf x_1-\mathbf x_2|^2$. Используйте координаты центра масс $\mathbf R=(\mathbf x_1+\mathbf x_2)/2$ и относительную координату $\mathbf x=\mathbf x_1-\mathbf x_2$. (a) Определим импульсы $\mathbf Q=\boldsymbol\Pi_1+\boldsymbol\Pi_2-q\mathbf x\times\mathbf B$, $\mathbf p=(\boldsymbol\Pi_1-\boldsymbol\Pi_2)/2$. Покажите, что пары $(\mathbf R,\mathbf Q)$ и $(\mathbf x,\mathbf p)$ канонически сопряжены. Проверьте также $[Q_i,p_j]=[Q_i,x_j]=[Q_i,Q_j]=[p_i,p_j]=[R_i,p_j]=0$. (b) Покажите, что $\mathbf Q$ коммутирует с гамильтонианом. Найдите классический аналог этого свойства из уравнений движения двух частиц, определив классическую величину, соответствующую $\mathbf Q$. (c) Поскольку $[\mathbf Q,H]=0$ и компоненты $\mathbf Q$ коммутируют, гамильтониан можно диагонализировать одновременно с $\mathbf Q$. При фиксированном $\mathbf Q$ покажите, что $H=(\mathbf Q+q\mathbf x\times\mathbf B)^2/(4m)+\mathbf p^2/m+V(\mathbf x)$. (d) Спектр зависит от $\mathbf Q$ и может быть найден точно. Для простоты положите $\mathbf Q=0$ и найдите точный спектр.