Свойства энтропии фон Неймана

Энтропия фон Неймана. Для матрицы плотности $\rho$ она определяется формулой $S=-\operatorname{Tr}\rho\ln\rho$. Докажите следующие свойства энтропии фон Неймана квантовой системы. (a) Энтропия инвариантна относительно унитарных преобразований $\rho$. (b) Если $\rho$ имеет $D$ ненулевых собственных значений, то $S(\rho)\le\log D$, причём равенство возможно только при равенстве всех ненулевых собственных значений. Это означает, что энтропия максимальна, когда квантовое состояние выбирается случайно. (c) Для двух матриц плотности $\rho_1$ и $\rho_2$ сначала покажите, что $\rho(\lambda)=\lambda\rho_1+(1-\lambda)\rho_2$ также допустимая матрица плотности. Затем покажите, что $S(\rho(\lambda))\ge\lambda S(\rho_1)+(1-\lambda)S(\rho_2)$. Иными словами, чем меньше известно о приготовлении состояния, тем больше энтропия фон Неймана. (d) Для составной системы A + B в произвольном смешанном состоянии $\rho_{A+B}$ справедливо $S(\rho_{A+B})\le S(\rho_A)+S(\rho_B)$, с равенством для некоррелированных систем, у которых полная матрица плотности раскладывается в произведение.