Магнитные трансляции в двух направлениях

Пусть $\mathbf B=(0,0,-B_0)$, $\mathbf A=(B_0 y,0,0)$. Для движения в плоскости $xy$ возьмите
$$H=\frac1{2m}\left[p_y^2+(p_x-eB_0y/c)^2\right].$$
(a) Покажите, что если $\psi(x,y)$ — решение стационарного уравнения Шрёдингера, то $\widetilde\psi=\psi(x,y-b)e^{ieB_0bx/(\hbar c)}$ также решение. (b) Определите $V_b$ его действием $V_b\psi=\widetilde\psi$. Покажите, что $V_b$ унитарен и коммутирует с $H$. (c) Найдите генератор $Q$ с $[Q,H]=0$ и $[y,Q]=i\hbar$. Указание: ищите линейную комбинацию $p_y$ и $x$. (d) Проверьте $V_b=\exp(-ibQ/\hbar)$.

(e) В выбранной калибровке $(U_a\psi)(x,y)=\psi(x-a,y)$. Вычислите $U_aV_b\psi$ и $V_bU_a\psi$. Покажите, что $U_a$ и $V_b$ коммутируют тогда и только тогда, когда $ab$ кратно $2\pi\hbar c/(eB_0)$, или $abB_0$ кратно $\Phi_0=hc/e$.