Связанные состояния и вариационный принцип

(a) Пусть $\psi_0(x)$ — нормируемое основное состояние одномерного уравнения Шрёдингера с потенциалом $V(x)$. Докажите, что у него нет узлов. Указание: предположите наличие узла и рассмотрите $|\psi_0|$. Средняя энергия та же, но в узле появляется излом. Если сгладить излом, можно уменьшить энергию.

(b) Докажите, что в отсутствие спина основное состояние в одном измерении невырождено. (c) Пусть одномерный потенциал равен нулю при $x<x_1$ и $x>x_2$, а при $x_1<x<x_2$ всюду отрицателен. Докажите, что есть хотя бы одно связанное состояние. Указание: попробуйте убывающую экспоненту с центром $x_0=(x_1+x_2)/2$.

(d) Пусть трёхмерный центральный потенциал допускает связанное состояние с $\ell=1$. Докажите, что у него есть связанное состояние и с $\ell=0$. Какое следствие это даёт для основного состояния?