Вариационный порог в экспоненциальной яме

В трёх измерениях частица массы $m$ движется в центральном потенциале $V(r)=-\alpha e^{-2\mu r}$, где $\alpha,\mu>0$. Возьмите пробную функцию $\psi_\lambda(r)=Ce^{-\lambda r}$.

(a) Нормируйте её. (b) Вычислите энергию $E(\lambda)$ по интегралу от $\hbar^2|\psi_\lambda'|^2/(2m)+V|\psi_\lambda|^2$. Можно использовать $\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=n!$. (c) Покажите, что при малой $\alpha$ минимальное значение равно нулю при $\lambda=0$. Интерпретируйте этот результат. (d) В обозначениях листка $\mathcal E=mE/\mu^2$, $x=\lambda/\mu$, $\kappa=\alpha m/\mu^2$. Запишите $\mathcal E(\kappa,x)$, графически или численно найдите пороговое $\kappa$ и соответствующее $x$. (e) Какое ограничение даёт этот расчёт для минимальной $\alpha$, необходимой для связанного состояния?