Вклад затухающего хвоста в предел бесконечной ямы

Для потенциала $V(x)=-V_0$ при $|x|\le a$ и нуля при $|x|>a$, где $V_0>0$, рассмотрите чётное состояние

$$\psi(x)=\begin{cases}a^{-1/2}\cos kx,&|x|\le a,\\Aa^{-1/2}e^{-\kappa|x|},&x>|a|.\end{cases}$$

Множитель $a^{-1/2}$ обеспечивает правильную размерность волновой функции. При фиксированных $m,a$ предел $V_0\to\infty$ означает $z_0\to\infty$.

Для основного состояния при больших $z_0$ эта функция с хорошей точностью нормирована, и

$$\eta=ka\simeq\frac\pi2(1-z_0^{-1}),\qquad\xi=\kappa a\simeq z_0,$$

$$A\simeq\frac\pi{2z_0}e^{z_0}.$$

Возникает ли сингулярный вклад запрещённой области в среднюю энергию при переходе к бесконечной яме? Снаружи потенциал нулевой, поэтому достаточно оператора $\hat K=\hat p^2/(2m)$. Найдите

$$\langle\hat K\rangle_{x>a}=\int_a^\infty\psi^*\hat K\psi\,dx.$$

Выразите результат через $z_0$ и объясните его смысл, в том числе почему скачок производной в бесконечной яме не создаёт проблемы.