Фаза рассеяния и теорема Левинсона

Для потенциала $V(x)=-V_0$ на $0<x<a$, нулевого при $x>a$ и бесконечного при $x<0$ для фазового сдвига получена формула

$$\tan\delta=\frac{1-(k'/k)\cot(k'a)\tan(ka)}{\tan(ka)+(k'/k)\cot(k'a)},$$

$$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2},\quad k'^2=\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2},\quad z_0^2=\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}.$$

(a) При $E\to0$ величина $ka\to0$. К чему стремится $k'a$? Покажите, что $\tan\delta\to0$ и можно выбрать ветвь $\delta\to0$.

(b) Найдите предел $\tan\delta$ при $E\to\infty$ и подробно объясните ответ.

(c) Введите $u=ka$ и найдите функцию $f$ в $\tan\delta=f(u;z_0)$, $\delta=\operatorname{ArcTan}f$.