Резонансы между дельта-барьером и стенкой

При $x\le0$ находится бесконечная стенка, а при $x>0$ потенциал равен $V(x)=g\delta(x-a)$, где $g>0$. На него падают частицы массы $m$ с энергией $E>0$. Пусть $(ka)^2=2mEa^2/\hbar^2$ и $\lambda=mag/\hbar^2$.

(a) Найдите $\delta(k)$ в виде

$$\tan\delta=-\frac{\sin^2(ka)}{h(ka;\lambda)},$$

определив функцию $h$. Объясните, как по фазе найти внутреннюю амплитуду $A(k)$.

(b) Получите главный член при $ka\ll1$ и обсудите зависимость от $\lambda$. К чему стремится $\tan\delta$ при $\lambda\to\infty$ для произвольного $ka$?

(c) При $\lambda=5$ постройте $\delta$, величину задержки $(1/a)d\delta/dk$ и $|A|$ как функции $ka$ на $[0,10]$. Если есть резонансы, укажите их $ka$, задержку и $|A|$. Согласуется ли график фазы с теоремой Левинсона?