Измерение спина и матрицы Паули

Двумерное гильбертово пространство имеет ортонормированный базис $|+\rangle,|-\rangle$. В этом базисе $\hat S_i=\hbar\sigma_i/2$, где
$$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$
Индексы $i,j,k$ принимают значения $x,y,z$.
(a) Запишите $\hat S_x,\hat S_y,\hat S_z$ в обозначениях Дирака через базисные кет- и бра-векторы.
(b) Эрмитовы ли эти операторы?
(c) Для $|\psi\rangle=|+\rangle/\sqrt3+\sqrt{2/3}|-\rangle$ найдите $\langle\psi|\hat S_z|\psi\rangle$, среднее измерения компоненты спина вдоль $z$ в ансамбле атомов, каждый из которых находится в этом состоянии. Совпадает ли оно с одним из собственных значений $\hat S_z$? Когда состояние понятно, это среднее часто обозначают $\langle\hat S_z\rangle$.
(d) Состояние не является собственным для $\hat S_z$, поэтому результат нельзя предсказать наверняка. После среднего найдём неопределённость. Докажите второе равенство в $\Delta A=\sqrt{\langle(\hat A-\langle\hat A\rangle)^2\rangle}=\sqrt{\langle\hat A^2\rangle-\langle\hat A\rangle^2}$. Докажите, что в собственном состоянии $\hat A$ неопределённость равна нулю. Найдите $\Delta S_z$ в состоянии из (c).
(e) Пользуясь ортонормированностью базиса, докажите $[\hat S_i,\hat S_j]=i\hbar\sum_k\varepsilon_{ijk}\hat S_k$. Здесь $\varepsilon_{xyz}=1$, перестановка двух индексов меняет знак, а совпадение индексов даёт ноль.
(f) Определим $\hat S^2=\hat S_x^2+\hat S_y^2+\hat S_z^2$. Это название оператора, а не квадрат отдельно определённого оператора $\hat S$. Запишите его матрицу и докажите $[\hat S^2,\hat S_i]=0$ для всех трёх $i$.
(g) Пользуясь ортонормированностью базиса, докажите $\{\hat S_i,\hat S_j\}=\hbar^2\delta_{ij}/2$, где $\{\hat A,\hat B\}=\hat A\hat B+\hat B\hat A$.
(h) Докажите, что в этом пространстве произвольный эрмитов оператор выражается линейной комбинацией единичного оператора и трёх операторов, представленных матрицами Паули.
(i) Найдите унитарную матрицу $U$, для которой $U^\dagger\sigma_yU=\sigma_z$. Найдите другую унитарную матрицу, для которой $U^\dagger\sigma_zU=\sigma_x$. Отсюда следует, что все три матрицы Паули имеют одинаковые собственные значения. Эти унитарные матрицы — примеры матриц поворота.
(j) До сих пор базис составляли собственные векторы $\sigma_z$, обозначенные $|+\rangle=|+;z\rangle$, $|-\rangle=|-;z\rangle$. Каковы векторы, представляющие эти же состояния в базисе $|+;y\rangle,|-;y\rangle$ из собственных векторов $\sigma_y$?