Ось квантования спина и измерение вдоль оси x

Что выделяет ось $z$ или, если уж на то пошло, оси $x$ и $y$? Это упражнение покажет, что ответ — «ничего». Определим $\hat S_{\bf n}=\mathbf n\cdot\hat{\mathbf S}=n_x\hat S_x+n_y\hat S_y+n_z\hat S_z$. Здесь $\mathbf n$ — единичный вектор из вещественных чисел, а $\hat{\mathbf S}$ — вектор операторов.
(a) Определим углы $\alpha,\beta$ равенством $(n_x,n_y,n_z)=(\sin\beta\cos\alpha,\sin\beta\sin\alpha,\cos\beta)$. Запишите $\hat S_{\bf n}$ через собственные кет-векторы $\hat S_z$, $|+\rangle,|-\rangle$, соответствующие бра-векторы и углы. Запишите матрицу в этом базисе.
(b) Вычислите собственные значения $\hat S_{\bf n}$ и покажите, что они совпадают с собственными значениями $\hat S_x,\hat S_y,\hat S_z$.
(c) Постройте соответствующие нормированные состояния $|\mathbf n;\pm\rangle$, удовлетворяющие $\hat S_{\bf n}|\mathbf n;\pm\rangle=\pm(\hbar/2)|\mathbf n;\pm\rangle$. Ответы имеют вид $|\mathbf n;+\rangle=\cos(\beta/2)|+\rangle+e^{i\alpha}\sin(\beta/2)|-\rangle$ и $|\mathbf n;-\rangle=\sin(\beta/2)|+\rangle-e^{i\alpha}\cos(\beta/2)|-\rangle$. Решите задачу на собственные векторы, не ограничиваясь проверкой. Если ваши векторы отличаются, проверьте физическую эквивалентность.
(d) Проверьте ортонормированность этих состояний и их переход в собственные состояния $\hat S_x,\hat S_y,\hat S_z$, когда $\mathbf n$ направлен по соответствующим осям.
(e) С помощью прибора Штерна — Герлаха атом со спином 1/2 приготовлен в состоянии $|\mathbf n;+\rangle$, где $\mathbf n$ лежит в плоскости $(x,z)$, то есть $\alpha=0$, $\beta\ne0$. Какова вероятность получить $+\hbar/2$ при измерении компоненты спина вдоль $x$ вторым магнитом?