Матричные элементы осциллятора и отсутствие верхнего уровня

Используйте обозначения Дирака.
(a) Из $[a,a^\dagger]=1$ докажите $[a,(a^\dagger)^n]=n(a^\dagger)^{n-1}$.
(b) Собственные состояния оператора числа $\hat N=a^\dagger a$ обозначим $|n\rangle$, где $n$ — собственное значение. Этот базис часто называют базисом чисел заполнения. Вычислите $\langle n|\hat x|m\rangle$ и $\langle n|\hat p|m\rangle$ и покажите, что оба элемента равны нулю, если $n\ne m\pm1$.
(c) Запишите матрицы $a^\dagger a$, $aa^\dagger$, $\hat x$, $\hat p$, $\hat x^2$, $\hat p^2$ гармонического осциллятора в этом базисе.
(d) Вычислите средние кинетическую и потенциальную энергии, а также среднеквадратичные отклонения $\Delta x,\Delta p$ в $n$-м базисном состоянии.
(e) В координатном представлении основное состояние описывается $\psi_0(x)=\langle x|0\rangle$. Найдите его волновую функцию в импульсном представлении $\phi_0(p)=\langle p|0\rangle$.
(f) Докажите отсутствие состояния с максимальной энергией. Наименьшее энергетическое состояние осциллятора подчиняется равенству $a|0\rangle=0$. Предположим ошибочно, что существует и наивысшее состояние $|\nu\rangle$. Какому равенству оно подчинялось бы? Покажите, что состояние, подчиняющееся этому равенству, не имеет допустимой волновой функции.