Сохранение вероятностей энергии в представлении Шрёдингера

Система описывается не зависящим от времени гамильтонианом $\hat H$ со счётным набором собственных состояний $\hat H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle$.
(a) При $t=0$ состояние равно $|\psi(0)\rangle_S=|\psi_n\rangle$. С помощью временного уравнения Шрёдингера покажите, что $|\psi(t)\rangle_S=e^{-iE_nt/\hbar}|\psi_n\rangle$.
(b) Воспользуйтесь разложением произвольного состояния по собственным состояниям энергии для записи его эволюции. Подсказка: сначала разложите $|\psi(0)\rangle_S=\sum_nc_n|\psi_n\rangle$.
(c) Докажите, что оператор эволюции $\hat U(t)=\sum_n|\psi_n\rangle e^{-iE_nt/\hbar}\langle\psi_n|$, проверив $|\psi(t)\rangle_S=\hat U(t)|\psi(0)\rangle_S$.
(d) Рассмотрите осциллятор массы $m$ с угловой частотой $\omega$. При $t=0$ его состояние $|\psi(0)\rangle_S=\sum_n c_n|n\rangle$, где $E_n=\hbar\omega(n+1/2)$. С какой вероятностью измерение энергии при $t=0$ даст $3\hbar\omega/2$? А при произвольном $t>0$?
(e) Теперь отличны от нуля только $c_0,c_1$. Запишите условие нормировки и выражение для $\langle H\rangle$ через $c_0,c_1$. Докажите независимость $\langle H\rangle$ от времени. Если $\langle H\rangle=\hbar\omega$, чему равны $|c_0|^2,|c_1|^2$?