Операторная эволюция и второй момент координаты осциллятора

(a) Пусть коммутатор двух операторов в представлении Гейзенберга в момент $t=0$ равен комплексному числу $c$. Докажите, что это справедливо при любом $t>0$.
(b) С помощью уравнения Эренфеста найдите $d a_H(t)/dt$ и $d a_H^\dagger(t)/dt$ для операторов понижения и повышения гармонического осциллятора. Найдите затем $d\hat x_H/dt$ и $d\hat p_H/dt$.
(c) Покажите, что $a_H(t)=e^{-i\omega t}a$. Подсказка: примените равенство к состоянию энергии $|n\rangle$, а затем к произвольному состоянию $\sum_nc_n|n\rangle$.
(d) Выразите $\langle\hat x\rangle(t)$, то есть $\langle\hat x_H(t)\rangle$ или, что равносильно, $\langle\psi(t)|\hat x|\psi(t)\rangle_S$, и $\langle\hat p\rangle(t)$ через их начальные значения в произвольном состоянии осциллятора.
(e) Найдите зависимость $\langle\hat x^2\rangle(t)$ от времени.