Когерентный осциллятор во времени

Когерентное состояние определяется как собственное состояние оператора уничтожения: $a|\psi_\alpha\rangle=\alpha|\psi_\alpha\rangle$.
(a) Докажите, что $|\psi_\alpha\rangle=N e^{\alpha a^\dagger}|0\rangle$ — собственное состояние $a$ со значением $\alpha$, где $\alpha$ — любое комплексное число.
(b) Покажите, что состояние $|x_0\rangle=e^{-ix_0\hat p/\hbar}|0\rangle$ имеет этот вид. Каково собственное значение $\alpha$?
(c) Разложите состояние из (a) по собственным состояниям энергии $|n\rangle$. Найдите нормировочную постоянную $N$ и вероятность энергии $E_n$.
(d) Найдите $|\langle\psi_\beta|\psi_\alpha\rangle|^2$ и покажите, что никакие два разных когерентных состояния не ортогональны.
(e) Вычислите $\langle H\rangle$, $\langle H^2\rangle$ и $\Delta H$ в этом состоянии. Покажите, что $\Delta H/\langle H\rangle$ уменьшается с ростом $|\alpha|$. Подсказка: если вычисление вышло длинным, проверьте, самое ли удобное выражение для $\hat H$ вы выбрали.
(f) Найдите $\langle x\rangle$ и $\langle p\rangle$. Покажите, что при вещественном $\alpha$ обращается в нуль $\langle p\rangle$, а при чисто мнимом $\alpha$ — $\langle x\rangle$.
(g) Вычислите $\Delta x,\Delta p$ и покажите, что их произведение минимально.
(h) В момент $t=0$ частица в потенциале осциллятора находится в состоянии $|\psi_{\alpha_0}\rangle$. Используя разложение из (c), запишите состояние при всех $t>0$. Докажите, что оно сохраняет вид (a) при некотором $\alpha\ne\alpha_0$ и остаётся собственным состоянием $a$. Найдите $\alpha(t)$.
(i) При вещественном $\alpha_0$ опишите изменение $\langle x\rangle,\langle p\rangle,\langle H\rangle,\Delta x,\Delta p$. Запишите все пять функций времени. Для колеблющихся величин сделайте эскизы, ясно обозначив период и амплитуду.
(j) Сделайте последовательность эскизов $|\psi(x)|^2$ при разных временах, начиная с $t=0$, чтобы показать эволюцию плотности.