Пространственная чётность в симметричной бесконечной яме

Определим оператор чётности $\hat\Pi$ равенством $\hat\Pi|x\rangle=|-x\rangle$.
(a) Примените подходящее разложение единицы и запишите $\hat\Pi|\psi\rangle$ в базисе $\{|x\rangle\}$, затем вычислите $\langle x|\hat\Pi|\psi\rangle$.
(b) Докажите, что $\hat\Pi$ эрмитов. Унитарен ли он?
(c) Какой кет получается при действии $\hat\Pi$ на $|p\rangle$?
(d) Рассмотрите бесконечную прямоугольную яму: $V(x)=\infty$ при $x\le-L/2$ или $x\ge L/2$, и $V(x)=0$ при $-L/2<x<L/2$. Обозначьте собственные состояния энергии через $\{|n\rangle\}$ и запишите волновые функции $\langle x|n\rangle$. Являются ли $|n\rangle$ собственными состояниями $\hat\Pi$? Если да, чему равны собственные значения?