Радиальный импульс и граница полуоси

Рассмотрите пространство комплекснозначных функций $f(r)$ на интервале $0\le r<\infty$.
(a) Потребуем, чтобы все функции были квадратично интегрируемы, $\int_0^\infty |f(r)|^2dr<\infty$, и чтобы $f(0)$ существовало. Определим скалярное произведение $(f_1,f_2)=\int_0^\infty f_1^*f_2\,dr$. i. Покажите, что $-i\,d/dr$ не является эрмитовым на этом пространстве. ii. Покажите, что он станет эрмитовым, если добавить условие $f(0)=0$. Это означает, что для квантовой механики в пространстве с границей необходимо задать поведение волновой функции на границе.
(b) Добавим к мере интегрирования множитель $r^2$. Именно это происходит, когда $r$ — радиальная координата, а $f(r)$ — трёхмерная радиальная волновая функция, поскольку $d^3x=r^2dr\,d\cos\theta\,d\phi$. Определим $(f_1,f_2)=\int_0^\infty r^2f_1^*f_2\,dr$ и предположим, что $f(0)$ существует. i. Покажите, что относительно этого скалярного произведения $-i\,d/dr$ не эрмитов. ii. Покажите, что оператор $-i\,d/dr-i/r$ эрмитов на этом пространстве. Координатное представление оператора не всегда можно непосредственно переносить из одного контекста в другой. В данном случае радиальная компонента импульса $p_r$ отличается от $-i\hbar\,d/dr$.