Двумерный осциллятор с различными частотами

Частица массы $m$ движется в плоскости $(x,y)$ в гармоническом потенциале с центром в начале координат. Пусть возвращающие силы вдоль осей различны. Гамильтониан
$$\hat H=(\hat p_x^2+\hat p_y^2)/(2m)+m\omega_x^2\hat x^2/2+m\omega_y^2\hat y^2/2,$$
где $[\hat x,\hat p_x]=[\hat y,\hat p_y]=i\hbar$, а прочие коммутаторы между этими четырьмя операторами равны нулю.
(a) Введите операторы понижения и повышения $a_x,a_y,a_x^\dagger,a_y^\dagger$ и $N_x=a_x^\dagger a_x$, $N_y=a_y^\dagger a_y$. Выразите через них $\hat H$. Найдите собственные состояния и энергии. Для одномерного осциллятора $|n\rangle=(a^\dagger)^n|0\rangle/\sqrt{n!}$ и $E_n=\hbar\omega(n+1/2)$. Здесь пригодятся $n_x,n_y$.
(b) Нарисуйте энергетические уровни. Для ясности положите $\omega_x\approx\omega_y$ и $\omega_x>\omega_y$. Покажите как минимум первые три группы состояний. Укажите $n_x,n_y$. Определим $\hat N=N_x+N_y$, $\hat n=N_x-N_y$. Оба оператора коммутируют с $\hat H$. Состояния можно пометить их собственными значениями $n,N$. Чему равно $E_{N,n}$? Перерисуйте диаграмму с метками $n,N$.
(c) По рисункам определите, какие наборы наблюдаемых полны: $\{\hat N\}$, $\{\hat N,\hat n\}$, $\{N_x,N_y\}$, $\{\hat H\}$. Как изменятся ответы при $\omega_x=\omega_y$? А при рациональном $\omega_x/\omega_y$?
(d) Положите $\omega_x=\omega_y=\omega$ и определите момент импульса $\hat\ell=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x$. Выразите его через операторы повышения и понижения. Докажите, что $\hat\ell$ коммутирует с $\hat H$ и что они допускают одновременную диагонализацию.
(e) Этот последний пункт не оценивается. Для случая (d) рассмотрите вырожденное подпространство $N$-го энергетического уровня. Найдите в нём базис собственных векторов $\hat\ell$. Классифицируйте их по собственным значениям момента импульса и докажите полноту набора $\{\hat H,\hat\ell\}$ во всём гильбертовом пространстве.