Состояние, ортогональное заданному когерентному состоянию

Рассмотрим два когерентных состояния гармонического осциллятора $|\alpha\rangle=N_\alpha e^{\alpha a^\dagger}|0\rangle$, $|\beta\rangle=N_\beta e^{\beta a^\dagger}|0\rangle$, где $\alpha,\beta$ вещественны, а $N_\alpha,N_\beta$ — нормировочные постоянные. Пусть $\beta=\alpha+\epsilon$ и $\epsilon\ll1$. Построим состояние, ортогональное $|\alpha\rangle$, разложением по $\epsilon$. Например, $N_\beta=N_\alpha(1-\alpha\epsilon+\ldots)$.
(a) Разложите $|\beta\rangle=|\alpha\rangle+\epsilon|\Psi\rangle+O(\epsilon^2)$ и выразите $|\Psi\rangle$ через действие оператора на $|\alpha\rangle$.
(b) Докажите, что $|\Psi\rangle$ нормировано и ортогонально $|\alpha\rangle$. Вспомните собственное уравнение $a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$.
(c) Покажите далее, что $a|\Psi\rangle=\alpha|\Psi\rangle+|\alpha\rangle$. Вычислите $\langle\Psi|\hat x|\Psi\rangle$ и $\langle\Psi|\hat x^2|\Psi\rangle$. Какова неопределённость $\Delta x$? Сравните с результатами для $|\alpha\rangle$.
(d) Рассмотрите результаты (c) при $\alpha\gg1$. Ведут ли себя эти характеристики так, как вы ожидали бы для когерентного состояния?
(e) Нарисуйте $\Psi(x)=\langle x|\Psi\rangle$. Узнаёте ли вы эту функцию? Добавьте к рисунку $\psi_\alpha(x)=\langle x|\alpha\rangle$ и объясните ортогональность. Подсказка: нарисуйте близкие $\psi_\alpha(x)$ и $\psi_\beta(x)$, затем функцию для их разности. Другая подсказка: вычислите $\langle x|\exp(-ix_0\hat p/\hbar)|1\rangle$ и сравните с $\langle x|\Psi\rangle$. При использовании подсказки покажите вычисления.