Уровни молекулы аммиака в электрическом поле

Молекула аммиака помещена в электрическое поле $\varepsilon$. В базисе $|+\rangle,|-\rangle$ гамильтониан равен
$$H=\begin{pmatrix}E_0+\mu\varepsilon&-\Delta\\-\Delta&E_0-\mu\varepsilon\end{pmatrix},$$
где $\mu$ — электрический дипольный момент. В этих состояниях атом азота находится над или под плоскостью атомов водорода. Они не являются собственными состояниями энергии. Найдите и исследуйте собственные состояния и энергии.
(a) Докажите, что $H=E_0I+a[-\sin(2\theta)\sigma_1+\cos(2\theta)\sigma_3]$. Выразите $a$ и $\tan(2\theta)$ через исходные величины.
(b) С помощью тождества покажите, что $H=E_0I+a e^{i\theta\sigma_2}\sigma_3 e^{-i\theta\sigma_2}$.
(c) Определим $U=e^{i\theta\sigma_2}$. Покажите, что $|I\rangle=U|+\rangle,\ |II\rangle=U|-\rangle$ — собственные состояния энергии. Каковы энергии? Найдите $U^\dagger H U$. Обозначение $U$ указывает на унитарность; здесь $U\ne e^{-iHt/\hbar}$.
(d) Покажите, что $|I\rangle=\cos\theta|+\rangle-\sin\theta|-\rangle$ и $|II\rangle=\sin\theta|+\rangle+\cos\theta|-\rangle$.
(e) Рассмотрите предел $\mu\varepsilon=0$. Чему равны $\theta$, собственные состояния и энергии?
(f) В противоположном пределе $\mu\varepsilon\gg\Delta$ что происходит с $\theta$? Каковы состояния и энергии? Объясните результаты.
(g) Положите $E_0=0$ и постройте две собственные энергии в зависимости от $\varepsilon$. Обозначьте на графике пределы из (e) и (f), указав энергии и состояния.