Длина осцилляций и вероятность обнаружения нейтрино

Для первоначально чистого пучка $\nu_\mu$ вероятность зарегистрировать электронное нейтрино равна $P_{\nu_e}(L)=\sin^2(2\theta)\sin^2[c^3\Delta m^2 L/(4\hbar E)]$.
(b) Подставьте фундаментальные константы и покажите, что получаем $P_{\nu_e}(L)=\sin^2(2\theta)\sin^2[1{,}27\Delta m^2 c^4 L/E]$, где разность квадратов масс $\Delta m^2 c^4$ измеряется в эВ², энергия нейтрино $E$ — в МэВ, расстояние $L$ — в м.
(c) В упрощённой модели опыта в Лос-Аламосе все нейтрино имеют $E=30$ МэВ, проходят $L=30$ м, а эксперимент даёт $P_{\nu_e}=0{,}003$. Пренебрегите экспериментальной погрешностью. Нарисуйте кривую допустимых пар $(\Delta m^2c^4,\sin^22\theta)$. Можно использовать логарифмические оси от 0,01 до 20 эВ² и от 0,001 до 1 соответственно; можно строить на компьютере или найти достаточно точек вручную.
(d) Пусть $\sin^22\theta=1$. Какое наименьшее $\Delta m^2c^4$ объясняет опыт в Лос-Аламосе? Эта точка ничем не предпочтительнее других; допущение упрощает дальнейшую задачу. Проверим гипотезу в Fermilab с пучком мюонных нейтрино энергии примерно 500 МэВ. При каком наименьшем $L$ все они превращаются в электронные? Если далее 1 км пучок становится слишком разреженным, детектор помещают на $L=1$ км. Какую малую вероятность $P_{\nu_e}$ предстоит измерить? Эти числа приблизительно соответствуют планировавшемуся эксперименту MiniBooNE, где протоны бустера порождают пионы, а те — нейтрино.
(e) В Super-Kamiokande регистрируют атмосферные нейтрино разных энергий. Для этой задачи возьмём $E=3{,}5$ ГэВ, $\Delta m^2 c^4=2{,}4\cdot10^{-3}$ эВ² и $\sin^22\theta=1$. Сколько полных циклов из $\nu_\mu$ в $\nu_?$ и обратно успевает совершить нейтрино, летя от противоположной стороны планеты через центр Земли в Японию? Ответьте также для $E=6$ ГэВ. Поскольку Super-Kamiokande не различает эти две энергии, усреднение по ним и промежуточным значениям даёт прогноз потока $\nu_\mu$ около 50 % от потока без осцилляций. Теперь проверьте ту же гипотезу с более энергичным и лучше коллимированным пучком основного инжектора Fermilab. При $E=4$ ГэВ на каком расстоянии в пучке не останется $\nu_\mu$? Это снова слишком далеко. Какова доля убыли потока в шахте Судан на расстоянии 730 км? Это эксперимент MINOS.