Двухфотонное спонтанное излучение и время жизни водородного 2S

Пусть $\omega_{mn}=\omega_m-\omega_n$. Состояние $b$ может распасться в $a$ с испусканием двух фотонов. (a) Для монохроматических лучей с частотами $\omega_1,\omega_2$ при пренебрежении поглощением двух фотонов одинаковой частоты дана амплитуда возбуждения $a_b^{(2)}=[(e^{iDt}-1)/(4\hbar^2D)]\sum_f[H_{bf,2}H_{fa,1}/(\omega_1-\omega_{fa})+H_{bf,1}H_{fa,2}/(\omega_2-\omega_{fa})]$, $D=\omega_{ba}-\omega_1-\omega_2$. i. Найдите скорость, указав резонансное условие на $\omega_2$. ii. Для $S=\sum_f[\langle a|\mathbf r\cdot\hat e_1|f\rangle\langle f|\mathbf r\cdot\hat e_2|b\rangle/(\omega_2+\omega_{fb})+\langle a|\mathbf r\cdot\hat e_2|f\rangle\langle f|\mathbf r\cdot\hat e_1|b\rangle/(\omega_1+\omega_{fb})]$ покажите $\Gamma_{ab}=\Gamma_{ba}=\pi E_1^2E_2^2e^4|S|^2\delta(D)/(8\hbar^4)$. iii. Истолкуйте два слагаемых. iv. Выразите $E_j^2$ через числа фотонов, затем используйте плотности мод и получите $A(\omega_1)d\omega_1=8e^4\omega_1^3\omega_2^3\langle|S|^2\rangle_{\rm avg}d\omega_1/(\pi\hbar^2c^6)$ с усреднением по направлениям и поляризациям. (b) Для перехода $2S\to1S$ оставьте только промежуточный $2P$, положите оба матричных элемента $z$ равными $a_0$ и считайте $2S,2P$ вырожденными. В усреднённой формуле можно положить $\langle|S|^2\rangle_{\rm avg}=\tfrac13|\sum_f z_{af}z_{fb}[(\omega_1+\omega_{fb})^{-1}+(\omega_2+\omega_{fb})^{-1}]|^2$. Найдите время жизни из $\tau^{-1}=\tfrac12\int_0^{\omega_{ba}} A(\omega_1)d\omega_1$, выразите его в секундах и постройте спектр. Действительное время жизни 0.122 с.