Переходы рубидия, нечувствительные к полю в первом порядке

Для атома в поле вдоль $z$ гамильтониан $H=ah\,\mathbf I\cdot\mathbf J/\hbar^2+\mu_0B_z(g_Jm_J-g_Im_I)$. (a) При $J=1/2$ и произвольном $I$ выведите формулу Брейта — Раби $E_m^\pm=-ah/4-mg_I\mu_0B_z\pm ah F^+\sqrt{1+2mx/F^++x^2}/2$, где $F^+=I+1/2$, $m=m_I+m_J$, $x=(g_I+g_J)\mu_0B_z/(ahF^+)$. (b) Для $I=3/2$ изобразите энергии от $x$ вплоть до полей $1/x\ll g_I/g_J$, отметьте квантовые числа в слабом и сильном поле и $m$. Учитывайте, что уровни с одинаковым $m$ не пересекаются. Можно использовать $^{87}$Rb с $g_I=0.0009954$, $g_J=2.002331$. (c) При каких полях частоты разрешённых магнитных дипольных переходов $\Delta m=0,\pm1$ не имеют линейной зависимости от изменений поля? Отметьте переходы на рисунке. (d) Какие из этих переходов связывают два состояния, удерживаемые в ловушке с локальным минимумом модуля поля? (e) Переход $|F=1,m=-1\rangle\leftrightarrow|F=2,m=1\rangle$ не является однофотонным дипольным, но реализуется двумя фотонами. Найдите малое поле нулевого наклона частоты. Дано $2a=6.835$ ГГц. (f) Для атомов рубидия при 1 мкК разброс полей около 30 мГс. Найдите неоднородную ширину перехода из (e) при нулевом и при найденном поле.