Установившаяся населённость из оптических уравнений Блоха

Двухуровневый атом с состояниями $a,b$ возбуждается с частотой Раби $\omega_R$ и затухает со скоростью $\Gamma$. (a) При $|\delta|\gg\Gamma,\omega_R$ найдите населённость $\rho_{bb}(t)$ для незатухающих колебаний Раби. Оцените предел при слабом затухании, заменив осциллирующий член средним. Сравните с низшим порядком теории возмущений для $|a,1\rangle$ и $|b,0\rangle$ при $H_{\rm int}=-\mathbf d\cdot\mathbf E$, $\mathbf E=i\sqrt{2\pi\hbar\omega/V}\,\hat\epsilon(a-a^\dagger)$, $\hbar\omega_R=2\sqrt{2\pi\hbar\omega/V}\,(\hat\epsilon\cdot\mathbf d_{ab})\sqrt n$. (b) Пусть $H=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}-\omega_0&\omega_R e^{i\omega t}\\\omega_R e^{-i\omega t}&\omega_0\end{pmatrix}$, $\dot\rho=[H,\rho]/(i\hbar)+\begin{pmatrix}\Gamma_1\rho_{bb}&-\Gamma_2\rho_{ab}\\-\Gamma_2\rho_{ba}&-\Gamma_1\rho_{bb}\end{pmatrix}$, $\rho_{aa}+\rho_{bb}=1$, $\rho_{ba}=\rho_{ab}^*$. Переходом во вращающуюся систему выведите $u=\rho_{ab}e^{-i\omega t}$, $\dot\rho_{aa}=i\omega_R(u-u^*)/2+\Gamma_1\rho_{bb}=-\dot\rho_{bb}$, $\dot u=(-i\delta-\Gamma_2)u+i\omega_R(\rho_{aa}-\rho_{bb})/2$ и сопряжённое уравнение. Докажите стационарный результат $\rho_{bb}=\dfrac{\omega_R^2\Gamma_2/(2\Gamma_1)}{\delta^2+\Gamma_2^2+\omega_R^2\Gamma_2/\Gamma_1}$. (c) Решите эти уравнения при $H=0$ для произвольной начальной матрицы плотности. Для совместной эволюции $(\alpha_a(0)|a\rangle+\alpha_b(0)|b\rangle)|0\rangle\ \to\ \alpha_a(t)|a,0\rangle+\alpha_b(t)|b,0\rangle+\sum_kc_k(t)|a,1_k\rangle$ выразите атомную матрицу через амплитуды. Покажите, что $\Gamma_1=\Gamma$, $\Gamma_2=\Gamma/2$, объясните различие. (d) Эти соотношения сохраняются при возбуждении. Перепишите стационарный ответ через $s=2\omega_R^2/\Gamma^2$ и сравните асимптотику большой отстройки с оценкой из (a).