Брэгговское рассеяние атома на движущейся световой решётке

На рисунке $|i\rangle=|g,0\rangle$, $|k\rangle=|e,\hbar k\rangle$, $|f\rangle=|g,2\hbar k\rangle$, где второй индекс — импульс атома. Встречные лазеры одной поляризации $E_1=E_0\cos(kz-\omega_1t)$ и $E_2=E_0\cos[-kz-(\omega_1+\Delta\omega)t]$ переносят импульс отдачи между лучами и атомом. (a) Рассмотрите двухфотонный вынужденный рамановский процесс. i. Найдите резонансное $\Delta\omega$. ii. Запишите гамильтониан взаимодействия с сохранением координатной зависимости обоих полей. iii. Запишите плоскую волну импульса $\hbar k$ в одномерном периодическом ящике длиной $L$. iv. Используя дипольный матричный элемент $D_{eg}$ и единственное промежуточное состояние $|k\rangle$, вычислите двухфотонную частоту Раби. v. Каков эффективный матричный элемент $\langle i|H^\prime|f\rangle$? (b) i. В пределе слабого поля рассчитайте усреднённый по оптическому периоду потенциал сдвига Штарка $U(z,t)$ для атома в $g$, сохранив координатную зависимость. ii. Найдите $\langle i|U|f\rangle$ и сравните с (a.v).