Перекрытие, поле и распределение фазы когерентного состояния

(a) Вычислите $\langle\alpha|\beta\rangle$ для произвольных комплексных $\alpha,\beta$. (b) Докажите, что когерентные состояния сверхполны: $\int d^2\alpha\,|\alpha\rangle\langle\alpha|/\pi=I$. (c) Если $[A,B]$ — число, $e^Ae^B=e^{A+B+[A,B]/2}$. С помощью этой формулы покажите, что оператор смещения, переводящий вакуум в $|\alpha\rangle$, можно записать как $D(\alpha)=e^{\alpha a^\dagger-\alpha^*a}$. (d) Для моды резонатора объёма $V$ положим $E_x(t)=E_0[a(t)+a^\dagger(t)]\sin(kz)$, $E_0=\sqrt{\hbar\omega/(V\epsilon_0)}$. Найдите среднее и среднеквадратичное отклонение поля свободно эволюционирующего когерентного состояния. Почему отклонение независимо от времени и $|\alpha|$ и почему это верно для вакуума? (e) Фазовое распределение задано $P(\phi)=(2\pi)^{-1}|\sum_n e^{-in\phi}\langle n|\alpha\rangle|^2$, $\int_0^{2\pi}P(\phi)d\phi=1$. Покажите, что для $\alpha=|\alpha|e^{i\theta}$ при больших амплитудах достигается классическое поведение, а для числового состояния фаза не определена.