Генерация сжатого вакуума двухфотонным взаимодействием

Мода электромагнитного поля с волновым вектором $\mathbf k$, поляризацией $\boldsymbol\epsilon$, частотой $\omega$ имеет гамильтониан $H=\hbar\omega a^\dagger a+i\hbar\Lambda[(a^\dagger)^2e^{-2i\omega t}-a^2e^{2i\omega t}]$. Вещественная $\Lambda$ характеризует двухфотонное взаимодействие, например параметрическое усиление. (a) Найдите уравнение Гейзенберга для $a(t)$, затем для $b,b^\dagger$ при $a(t)=b(t)e^{-i\omega t}$. (b) Поле равно $iE_\omega\boldsymbol\epsilon[a(t)e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}-a^\dagger(t)e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf r}]$. Обоснуйте интерпретацию $b_P=(b+b^\dagger)/2$, $b_Q=(b-b^\dagger)/(2i)$ как двух квадратур. Найдите их уравнения и решения при известных $b_P(0),b_Q(0)$, а также $b,b^\dagger$. (c) Для начального вакуума найдите среднее число фотонов и стандартные отклонения квадратур во время $t$. Объясните результат.