Спонтанное испускание в одну резонаторную моду

Пусть $H/\hbar=\omega a^\dagger a+\omega_0\sigma_z/2+\Omega_1(a^\dagger\sigma_-+a\sigma_+)/2$, $\delta=\omega-\omega_0$, $\sigma_z=|e\rangle\langle e|-|g\rangle\langle g|$, $\sigma_+=|e\rangle\langle g|$, $\sigma_-=\sigma_+^\dagger$. В базисе $|0g\rangle,|0e\rangle,|1g\rangle$ используйте матрицу $H=(\hbar/2)\operatorname{diag}(-\delta-2\omega_0,\begin{smallmatrix}-\delta&\Omega_1\\\Omega_1&\delta\end{smallmatrix})$. (a) Вычислите $U=e^{-iHt/\hbar}$. Покажите, что вакуум с основным атомом приобретает фазу $e^{i(\delta/2+\omega_0)t}$, а в двух остальных состояниях диагонали $U$ равны $\cos(\Omega t/2)\pm i(\delta/\Omega)\sin(\Omega t/2)$ и внедиагонали $-i(\Omega_1/\Omega)\sin(\Omega t/2)$, $\Omega=\sqrt{\Omega_1^2+\delta^2}$. (b) Для начального возбуждённого атома и пустой полости каково состояние атома через $t$, если измерено ноль или один фотон? (c) Для произвольной начальной атомной матрицы $\rho$ и вакуума поля найдите редуцированную атомную матрицу при $t>0$. (d) После каждого короткого взаимодействия $\Delta t$ полость измеряется и возвращается в вакуум. Как эволюционирует матрица атома после повторений, какова неподвижная точка? (e) Изобразите на сфере Блоха, где $g$ — северный, $e$ — южный полюс, начальные $(|e\rangle\pm|g\rangle)/\sqrt2$, $|e\rangle$ и их эволюцию из (d). (f) Вдали от резонанса испускание подавлено. Объясните независимость начального кратковременного затухания от расстройки и роль сделанных в (d) приближений.