Спин-орбитальное смешивание двух f-электронов

A. Выведите матрицу $L^2$ для конфигурации $f^2$ при $M_L=3,M_S=0$.

B. Выведите матрицу $S^2$ для $f^2$ при $M_L=3,M_S=0$. Найдите собственные значения и собственные векторы.

C. Выведите четыре собственных вектора ячейки $M_L=3,M_S=0$ для $f^2$.

D. Из результатов B и C выведите связь между многоэлектронными постоянными спин-орбитального взаимодействия $\zeta(4f^2;{}^3H),\zeta(4f^2;{}^3F),\zeta(4f^2;{}^3P)$ и одноэлектронной постоянной $\zeta(4f)$. [Подсказка: к собственным векторам понадобится применить $S_+$ или $S_-$.]

E. Здесь потребуются довольно длинные вычисления с лестничными операторами или коэффициентами Клебша — Гордана либо с тем и другим. Найдите диагональные и внедиагональные вклады $H_{\rm SO}$ в блок $J=4$ конфигурации $f^2$ в базисе $({}^3F_4,{}^3H_4,{}^1G_4)$.

F. Пусть при $t=0$ заселён единственный определитель Слэтера конфигурации $f^2$, $|3\alpha,1\beta|$. Вычислите вероятность сохранения начального состояния, которое не является собственным, $P(t)=|\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2$. Для этого найдите энергии взаимодействия $e^2/r_{ij}$ для всех $L$–$S$–$J$-термов конфигурации $f^2$, допускающих $M_J=4$ (то есть $J\ge4$). Понадобятся также диагональные и внедиагональные элементы $H_{\rm SO}$ для $J=4$ ($3\times3$), $J=5$ ($1\times1$) и $J=6$ ($2\times2$, но этот случай прост).