Квантовые биения светлого и тёмного состояний

Рассмотрим двухуровневую систему
$$H=\begin{pmatrix}E_B^{(0)}&V\\V&E_D^{(0)}\end{pmatrix}=E^{(0)}I+\begin{pmatrix}\Delta&V\\V&-\Delta\end{pmatrix},\quad E^{(0)}=(E_B^{(0)}+E_D^{(0)})/2,\quad\Delta=(E_B^{(0)}-E_D^{(0)})/2,$$
где $E_B^{(0)}$ и $E_D^{(0)}$ — энергии в нулевом приближении соответственно «светлого» и «тёмного» состояний. Эти названия указывают на способность поглощать и испускать фотон.

A. Найдите энергии и собственные состояния $E_+,\psi_+$ и $E_-,\psi_-$ через $E_B^{(0)},\psi_B^{(0)}$ и $E_D^{(0)},\psi_D^{(0)}$. По определению $E_+>E_-$. Пусть $V$ вещественно и $V>0$. Используйте стандартные обозначения для двух уровней
$$\psi_+=\cos(\theta/2)\psi_B^{(0)}+\sin(\theta/2)\psi_D^{(0)},\quad \psi_-=-\sin(\theta/2)\psi_B^{(0)}+\cos(\theta/2)\psi_D^{(0)},$$
где $\tan\theta=V/\Delta$.

B. По определению в момент возбуждения импульсом фотонов $\Psi(x,t=0)=\psi_B^{(0)}(x)$. Найдите $\Psi(x,t)=a_+(t)\psi_+(x)+a_-(t)\psi_-(x)$.

C. Для $\Psi(x,t)$ постройте матрицу плотности $\rho(t)$ размера $2\times2$ в базисе $\psi_B^{(0)},\psi_D^{(0)}$.

D. Оператор регистрации $\hat D=|\Psi_B^{(0)}\rangle\langle\Psi_B^{(0)}|$ — проектор, выделяющий светлую компоненту. Запишите его матрицу $D$ в базисе $\psi_B^{(0)},\psi_D^{(0)}$.

E. Вычислите среднее $D$ для состояния $\Psi(x,t)$ с матрицей плотности из C по формуле $\langle D\rangle=\operatorname{Tr}(\rho D)$. Вы только что заново открыли квантовые биения!

F. Постройте не зависящую от времени относительную глубину модуляции $(\langle D\rangle_{\max}-\langle D\rangle_{\min})/\langle D\rangle_{\max}$ в зависимости от $V/(E_B^{(0)}-E_D^{(0)})$. Часто говорят об эволюции так, словно система движется в пространстве состояний (в отличие от координатного пространства) между светлым и тёмным состояниями и обратно.

G. Представьте, что вы могли бы волшебным образом изменить аппаратуру: при $t=0$ по-прежнему возбуждается исходное светлое состояние, но детектор теперь «видит» только исходное тёмное состояние. Как изменятся $D$, $\langle D\rangle$, амплитуда и фаза квантовых биений?