Эволюция осциллятора за четверть и половину периода

Оператор эволюции гармонического осциллятора $\hat K(t)=e^{-i\hat Ht/\hbar}=e^{-i\hbar\omega(a^\dagger a+1/2)t/\hbar}=e^{-i\omega(a^\dagger a+1/2)t}$. a. Рассмотрите операторы $\tilde a=\hat K^\dagger(t)a\hat K(t)$ и $\tilde a^\dagger=\hat K^\dagger(t)a^\dagger\hat K(t)$. Каков их физический смысл? Что означает $\tilde a$? b. Действуя на состояния осциллятора $|\phi_n\rangle$, выразите $\tilde a,\tilde a^\dagger$ через операторы рождения и уничтожения. c. Вычислите $\tilde p=\hat K^\dagger(t)\hat p\hat K(t)$ и $\tilde q=\hat K^\dagger(t)\hat q\hat K(t)$. Как интерпретировать эти соотношения? В частности, покажите, что $\tilde H\equiv\tilde p^2/(2m)+m\omega^2\tilde q^2/2=\hat p^2/(2m)+m\omega^2\hat q^2/2=\hat H$. d. Покажите, что $\hat K(\pi/(2\omega))|q\rangle$ — собственное состояние $\hat p$, и укажите собственное значение. Аналогично покажите, что $\hat K(\pi/\omega)|q\rangle$ — собственное состояние $\hat q$, и укажите собственное значение. Как это объяснить?