Круговая поляризация и базис операторов фильтра

На занятии мы говорили о линейных поляризациях. Фотон может также находиться в одном из двух состояний круговой поляризации («левом» или «правом»), выражающихся через линейные поляризации следующим образом: $|L\rangle=(|\bar x\rangle-i|\bar y\rangle)/\sqrt2$, $|R\rangle=(|\bar x\rangle+i|\bar y\rangle)/\sqrt2$. a. Покажите, что эти состояния ортонормированы. b. Для произвольной поляризации $|\psi\rangle=a|\bar x\rangle+b|\bar y\rangle$ определите $a^\prime,b^\prime$ в разложении $|\psi\rangle=a^\prime|L\rangle+b^\prime|R\rangle$. Почему это возможно? c. Запишите операторы фильтров левой и правой круговой поляризации. Определите вероятность того, что фотон с поляризацией $x^\prime$ пройдёт через левый круговой фильтр. d. Рассмотрите операторы $\hat O_0=|R\rangle\langle R|+|L\rangle\langle L|$, $\hat O_1=(|L\rangle\langle R|+|R\rangle\langle L|)/2$, $\hat O_2=i(|L\rangle\langle R|-|R\rangle\langle L|)/2$, $\hat O_3=(|R\rangle\langle R|-|L\rangle\langle L|)/2$. Покажите, что $\hat O_i\hat O_j=-\hat O_j\hat O_i=(i/2)\hat O_k$ при комбинациях индексов 1-2-3, 2-3-1 и 3-1-2. Чем особенны эти комбинации? e. Можно ли записать поляризационный фильтр $|\psi\rangle\langle\psi|$ с $|\psi\rangle$ из b как линейную комбинацию $\hat O_i$, то есть найти $c_i$, для которых $|\psi\rangle\langle\psi|=c_0\hat O_0+c_1\hat O_1+c_2\hat O_2+c_3\hat O_3$? Это означало бы, что, подобно разложению поляризационного состояния по базису состояний, любой оператор поляризации можно разложить по операторному базису, здесь по $\hat O_i$.