Производная собственного значения и операторной экспоненты

Рассмотрим оператор $\hat O$, зависящий от параметра $\lambda$, например гамильтониан, зависящий от напряжённости электрического поля. a. Пусть $\hat O(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle=o(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle$. Покажите, что $do(\lambda)/d\lambda$ можно вычислить, не зная $d|\psi(\lambda)\rangle/d\lambda$. Таким образом, изменение собственного значения можно определить, не зная изменения собственного состояния. При каких условиях $\hat O(\lambda)$ коммутирует с $\hat O(\lambda^\prime)$? b. Экспонента задаётся рядом $e^{\tau\hat O(\lambda)}\equiv1+\tau\hat O(\lambda)+\tfrac12\tau^2\hat O^2(\lambda)+\ldots$. Далее мы увидим её связь с эволюцией в квантовой механике; здесь $\tau$ играет роль времени. Покажите, что оператор коммутирует со своей экспонентой: $[\hat O(\lambda),e^{\tau\hat O(\lambda)}]=0$. c. Часто нужна производная экспоненты по внешнему параметру. Докажите $\frac d{d\lambda}e^{\tau\hat O(\lambda)}=\int_0^\tau e^{\alpha\hat O(\lambda)}\frac{d\hat O(\lambda)}{d\lambda}e^{(\tau-\alpha)\hat O(\lambda)}d\alpha$. Не предполагайте коммутирования $\hat O$ с его производной. [Подсказка: покажите, что обе части $\hat X$ удовлетворяют уравнению первого порядка по $\tau$: $d\hat X/d\tau-\hat X\hat O(\lambda)=e^{\tau\hat O(\lambda)}d\hat O(\lambda)/d\lambda$. Совпадение при $\tau=0$ тогда влечёт совпадение при всех $\tau$.]