Суперсимметричная факторизация и уровни потенциала Морзе

Эта задача показывает, как более сложные, но точно решаемые системы сводятся к гармоническому осциллятору. Идеи взяты из суперсимметричной квантовой механики. Рассмотрите обобщённые операторы рождения и уничтожения $\hat A=f(\hat q)+i\hat p/\sqrt2$, $\hat A^\dagger=f(\hat q)-i\hat p/\sqrt2$. a. Найдите $[\hat A^\dagger,\hat A]$. b. Постройте гамильтониан $\hat H^+=\hat A^\dagger\hat A$ по аналогии с осциллятором. Покажите, что эффективный потенциал $V^+(q)=f^2(q)-f^\prime(q)/\sqrt2$. c. Постройте связанный гамильтониан $\hat H^-=\hat A\hat A^\dagger$. Каков эффективный потенциал в этом случае? $\hat H^+,\hat H^-$ называют суперсимметричными партнёрами. d. Обозначим их собственные состояния как $\hat H^+|\psi_n^+\rangle=E_n^+|\psi_n^+\rangle$ и $\hat H^-|\psi_n^-\rangle=E_n^-|\psi_n^-\rangle$. Покажите, что $\hat A^\dagger|\psi_n^-\rangle$ пропорционален собственной функции $\hat H^+$. Что следует для значений энергии $\hat H^-$? Какой множитель нормирует $\hat A^\dagger|\psi_n^-\rangle$? [Подсказка: используйте аналогию с гармоническим осциллятором.] e. Для $f(\hat q)=\alpha e^{-\beta\hat q}+\gamma$ постройте оба эффективных потенциала. Какое применение у них может быть? Покажите, что $V^+(\hat q;\alpha,\beta,\gamma)=V^-(\hat q;\alpha^\prime,\beta^\prime,\gamma^\prime)+R(\alpha,\beta,\gamma)$. То есть $\hat H^+$ и $\hat H^-$ имеют одинаковую форму после замены параметров и добавления константы $R$. Это свойство называют инвариантностью формы, и оно существенно для нахождения спектров. f. По результатам d и e найдите две низшие энергии $\hat H^+(\alpha,\beta,\gamma)$. Сначала по d и аналогии с осциллятором найдите основную энергию $\hat H^+$. Затем по e найдите основную энергию $\hat H^-$, связанную с возбуждённым состоянием $\hat H^+$. g. Найдите две низшие энергии гамильтониана Морзе $\hat H^+=\hat p^2/2+D(1-\exp(-\beta(q-q_0)))^2$, подобрав $\alpha,\beta,\gamma$. Запишите результат в стандартном колебательном виде $E(n)=\omega_e(n+1/2)-\omega_e x_e(n+1/2)^2$. Как связаны $\alpha,\beta,\gamma$ и $\omega_e,x_e$?