Расщепление d-уровней в октаэдрическом поле

Атом переходного металла находится в слабом возмущающем поле окружающих лигандов. Металл расположен в начале координат, а шесть одинаковых лигандов — в точках $(0,0,\pm a),(0,\pm a,0),(\pm a,0,0)$. Возмущение можно приближённо описать потенциалом кристаллического поля $V_{\rm cryst}=\alpha(x^4+y^4+z^4-\tfrac35r^4)$, где $\alpha$ задаёт силу поля лигандов. a) Выразите потенциал через расстояние $r$ от ядра металла и сумму угловых функций $Y_l^m(\theta,\phi)$. b) В первом порядке определите расщепление вырожденных $d$-орбиталей металла. Сохраняется ли какое-либо вырождение? Радиальный интеграл вычислять не следует. Почему относительные расщепления находятся без него? c) Рассмотрите спин-орбитальное взаимодействие электрона металла $V_{\rm SO}=\zeta\hat{\mathbf L}\cdot\hat{\mathbf S}$. Оно гораздо слабее кристаллического поля. Как в первом порядке оно расщепляет уровни кристаллического поля? Являются ли эти состояния собственными для $\hat J^2=(\hat{\mathbf L}+\hat{\mathbf S})^2$? Объясните. Какие состояния ниже при $\alpha,\zeta>0$? d) Пусть на $d$-орбиталях два невзаимодействующих электрона. При наличии кристаллического поля, но без спин-орбитальной связи, найдите наименьшую совместную энергию при $\alpha>0$, её вырождение и возможные собственные значения $\hat S^2=(\hat{\mathbf S}_1+\hat{\mathbf S}_2)^2$ для этих состояний.