Шар Блоха и чистота спинового состояния

(a) Покажите, что матрица плотности системы со спином $1/2$ имеет вид $\rho=\tfrac12(1+\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma)$ с вещественным трёхкомпонентным вектором $\mathbf n$. Есть ли ограничения на $\mathbf n$? (b) Какое условие он удовлетворяет для чистого состояния? (c) Какое условие он удовлетворяет для полностью случайного состояния?