Основное состояние двух антиферромагнитно связанных спинов один

Два магнитных момента со спином 1 связаны гамильтонианом $H=J\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2$, где $J>0$. (a) Покажите, что $\mathbf S_{\rm tot}=\mathbf S_1+\mathbf S_2$ коммутирует с гамильтонианом. Объясните, почему этого следовало ожидать. (b) Из предыдущего результата следует, что гамильтониан можно диагонализировать одновременно с $S_{\rm tot}^2,S_{\rm tot}^z$. Найдите спектр и вырождения $H$. Собственные векторы пока не ищите. (Подсказка: выразите $H$ через $S_{\rm tot}^2,S_1^2,S_2^2$.) Чему равны $S_{\rm tot}^2$ и $S_{\rm tot}^z$ у основного состояния? (c) Запишите основное состояние в базисе $|m_1m_2\rangle$ собственных состояний $S_1^z,S_2^z$ в виде $|\psi\rangle=\sum a_{m_1,m_2}|m_1,m_2\rangle$. Используйте действие $S_{\rm tot}^z$, чтобы получить ограничения на коэффициенты. (d) Определите нормированную волновую функцию основного состояния из известного действия $S_{\rm tot}^+$.